Hilbert, un problema, e i solidi Platonici ed Archimedei

L’ 8 agosto 1900 in un congresso internazionale di matematici tenutosi a Parigi, il matematico tedesco David Hilbert propose una lista di 23 problemi di matematica la cui risoluzione avrebbe portato notevoli vantaggi non solo alla cricca dei matematici, ma anche all’ intera comunità. Alcuni di quei problemi sono stati risolti, altri sono stati risolti solo parzialmente, altri sono ancora aperti e uno é stato proposto in modo troppo vago per essere risolto.

A dimostrare quanto la soluzione dei problemi di Hilbert possa dare beneficio alla comunità prendiamo, ad esempio, 2 dei 3 punti del diciottesimo problema:

1. Esiste un poliedro non regolare che, ripetuto nello spazio, riempia completamente lo spazio euclideo tridimensionale?

2. Nel caso delle sfere, qual é la densità massima ottenibile (cioè qual é il massiomo spazio occupato dato un certo spazio)?

Tutti i punti sono stati risolti, anche se il secondo punto ha richiesto una dimostrazione numerica. In particolare, il secondo punto corrisponde alla congettura di Keplero nello spazio Euclideo tridimensionale.

Questo problema, che a prima vista può sembrare solo di interesse per la matematica computazionale, la geometria discreta e la teoria dei numeri, in realtà ha ispirato problemi direttamente legati alla vita di tutti i giorni. Scienziati si sono chiesti se l’impacchettamento di proteine (1) e DNA (2) sia ottimale in condizioni biologiche, se possa essere migliorato, così come altri si sono chiesti quale sia il modo migliore per impaccare particelle componenti cristalli, vetri (3) e materiali eterogenei (4) per migliorarne le proprietà. 

Per molto tempo ci si è basati sullo studio di particelle sferiche, sulla base della dimostrazione della congettura di Keplero che risale al 2005 (5).

Passare però dalle sfere nello spazio Euclideo della congettura di Keplero a sistemi complessi come proteine o colloidi non è certo un salto banale da modellizzare. Inoltre i modelli che vengono utilizzati sono sistemi di equazioni differenziali accoppiate dipendenti dal problema, il ché li rende non generalizzabili. Si è quindi venuto a creare il problema di trovare un modello teorico in grado di trovare il miglior impacchettamento spaziale indipendentemente da ciò che si desidera posizionare nello spazio.

L’impaccamento di particelle non sferiche come ellissoidi, tetraedri e supersfere (sfere in 4 dimensioni) sono stati già affrontati (6) e uno sforzo in questa direzione è stato compiuto dal gruppo del Prof. S. Torquato della Princeton University.

Un estensivo e generale studio sull’ ordinamento di solidi platonici e archimedei allo scopo di trovare la densità massima di questi solidi è stato solo di recente affrontato (7) sempre dal gruppo del Prof. S. Torquato allo scopo di trovare un modello generale in grado di descrivere il miglior impaccamento di questa vasta gamma di solidi. I solidi platonici sono infatti 5 (tetraedro, icosaedro, dodecaedro, ottaedro e cubo) mentre i solidi archimedei sono 13, per un totale quindi di 18 solidi.

Come detto poco sopra, lo studio di come si impacchino particelle di varie dimensioni è di ampio interesse in vari campi scientifici ed industriali, dallo studio delle proteine a quello dei vetri e cristalli. Tuttavia, fino a poco tempo fa le particelle venivano descritte solo come sfere e pochi altri solidi non sferici, dando poche chance di ottenere delle buone previsioni teoriche.

L’ utilità, e la novità di questo studio sta quindi nell’essere riusciti a determinare numericamente il modo migliore di impaccare una vasta gamma di solidi che possono essere utilizzati in vari settori in funzione di cosa si intenda studiare. Essendo inoltre un modello generale, può essere usato anche per altri tipi di solidi. Insomma, una generalizzazione della congettura di Keplero e, anche se ancora mancano prismi e antiprismi, un bel passo avanti per chi lavora nei vari campi che richiedono la comprensione di questi fenomeni.

 1. J. Liang and K. A. Dill, Biophys. J. 81, 751 (2001)
2. P. K. Purohit, J. Kondev and R. Philips, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 100, 3173 (2003)
3. S. Torquato Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties (Springer 2002)
4. P. M. Chaikin and T. C. Lubensky Principles of Condensed Matter Physics (Cambridge Univ. Press 2000)
5. T. C. Hales, Ann. Math. 162, 1065 (2005)
6. A. Donev, F. H. Stilinger, P. M. Chaikin and S. Torquato, Phys. Rev. Lett. 92, 255506 (2004); J. H. Conway and S. Torquato, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 103, 10612 (2006); E. R. Chen, Discrete Comput. Geom. 40, 214 (2008); Y. Jiao, F. H. Stilinger and S. Torquato, Phys. Rev. E 79, 041309 (2009)
7. S. Torquato and Y Jiao, Nature Letters 460, 876 (2009)