Matematica, logica, paradossi – Parte II

Dopo l’autoreferenzialità, è l’infinito il grande produttore di paradossi. Cominciò Zenone di Elea con una lista di ragionamenti riportati da Aristotele; ne cito solo due. 1) Una freccia scoccata non può raggiungere il suo bersaglio; infatti prima deve raggiungere la metà del percorso, poi la metà della metà restante, e così via per un’infinità di intervalli temporali. 2) Achille gareggia in corsa con una tartaruga offrendole un vantaggio; Achille non raggiungerà mai la tartaruga: infatti quando Achille colma il vantaggio, la tartaruga si è già spostata in un punto P₁; quando Achille arriva in P₁ la tartaruga è più avanti in P₂ e così via.

Cosa voleva dimostrare Zenone? Davvero il carattere illusorio del moto o l’inadeguatezza dei metodi analitici che stavano guadagnando tanto favore nel mondo greco? Uno studio agile ma ben documentato si trova in I paradossi di Zenone di V. Fano, suggerito da un lettore. Io mi limito a indicare che occorsero 21 secoli perché si sviluppasse il calcolo infinitesimale, entro cui si trova una risposta calcolabile: ci sono casi in cui, mettendo insieme infiniti intervalli, si ottiene un intervallo finito. È il concetto di serie convergente, che si indica e si pensa come una somma infinita, ma tecnicamente è il limite di una successione di somme finite; data per buona una certa struttura del tempo e dello spazio, la serie formata dagli intervalli di tempo negli esempi di Zenone è una serie geometrica convergente. Si può calcolare questo limite (sulla base di una formula già nota a Euclide) ed esso fornisce il tempo finito di viaggio della freccia e il tempo finito in cui Achille raggiunge la tartaruga. Una volta di più i paradossi hanno sollecitato la matematica ad una evoluzione fruttuosa.

Nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze Galileo s’interroga sull’infinito sia continuo sia discreto.

“[…] stimo che questi attributi di maggioranza, minorità ed egualità non convenghino a gl’infiniti, de i quali non si può dire, uno esser maggiore o minore o eguale all’altro. […]Io suppongo che voi benissimo sappiate quali sono i numeri quadrati, e quali i non quadrati. […]se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così? […]Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno che non sia radice di qualche quadrato”

Galileo riscontra una contraddizione: da una parte i numeri naturali (1, 2, 3, …) sono tanti quanti i loro quadrati, perché sono in corrispondenza biunivoca; dall’altra l’insieme dei quadrati è un sottoinsieme proprio dell’insieme di tutti i numeri naturali (cioè ci sono dei naturali che non sono quadrati). Galileo ne salta fuori asserendo che i confronti numerici perdono di senso quando si ha a che fare con insiemi infiniti. La matematica “moderna” (cioè d’inizio ‘900…) capovolge il discorso: un insieme viene definito di cardinalità infinita se è possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio!

Se ne traggono altri paradossi, come quello dell’Albergo di Hilbert: c’è un albergo con infinite stanze contrassegnate con i numeri naturali, ognuna occupata da un cliente. Arrivano altrettanti viaggiatori, come si fa? Nessun problema: si sposta nella stanza 2n chi occupava la stanza n; i nuovi arrivati si sistemano nelle stanze dispari, che ora sono vuote. Ancora più disorientante è il paradosso di Banach-Tarski: data una boccia di materiale infinitamente divisibile (quindi non costituita da atomi, pensiamola fatta di puro spazio), è possibile scomporla, con un procedimento infinito, in un numero finito di sottoinsiemi che, ricomposti diversamente, formano due bocce ognuna dello stesso volume della prima!

Alla base di quest’ultimo paradosso c’è un assioma della teoria degli insiemi, l’assioma di scelta. Ingrediente centrale della soluzione dei paradossi della freccia e di Achille è il principio d’induzione. Ci sono matematici illustri che rifiutano l’uno e l’altro. (Si vedano anche i bei commenti al post precedente.) D’altra parte la definizione stessa che ho dato sopra cozza contro il concetto usuale di infinito. La matematica assomiglia a un gioco da tavolo: nessuno pretende che le mosse dell’alfiere e del cavallo abbiano una controparte intuitiva. La matematica però funziona, sorprendentemente, come descrittore e predittore di fenomeni naturali; e poi è bella; vale la pena di adottarne le regole.